Khoảng cách và những không gian metric

Khoảng cách là gì?

Trên đường thẳng thực, ta đo khoảng cách giữa

x

và

y

bằng

∣ x - y ∣

. Khái niệm này có thể được trừu tượng hóa.

Định nghĩa

Định nghĩa 1. Một metric trên tập $X$ là ánh xạ $d : X \times X \to [0, \infty)$ thỏa mãn: $d (x, y) = 0$ khi và chỉ khi $x = y$ ; $d (x, y) = d (y, x)$ ; và $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ .

Ví dụ

Trên

R^{n}

, metric Euclid là

d (x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - y_{i})^{2}} .

Một lựa chọn khác là metric Manhattan:

d_{1} (x, y) = \sum_{i} ∣ x_{i} - y_{i} ∣

Hội tụ

Dãy

(x_{n})

hội tụ đến

x

khi

d (x_{n}, x) \to 0

. Định nghĩa quen thuộc vẫn tồn tại, ngay cả khi không gian không còn là một đường thẳng.

Tính liên tục

Định nghĩa 2. Hàm $f : (X, d_{X}) \to (Y, d_{Y})$ liên tục tại $a$ nếu với mọi $ε > 0$ tồn tại $δ > 0$ sao cho $d_{X} (x, a) < δ$ kéo theo $d_{Y} (f (x), f (a)) < ε$ .